F - 封闭点

得分：$600$ 分

题目描述

在二维平面上有一个点集 $S$，其中包含 $N$ 个点。第 $i$ 个点的坐标是 $(x_i, y_i)$。这 $N$ 个点的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标都各不相同。

对于 $S$ 的非空子集 $T$，定义 $f(T)$ 为包含 $T$ 中所有点的最小矩形（边平行于坐标轴）中的点的数量。具体而言，$f(T)$ 的计算公式如下：

• $f(T) := $ （满足条件 $a \leq x_i \leq b$ 且 $c \leq y_i \leq d$ 的整数 $i$ 的数量，其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 分别是 $T$ 中点的最小 $x$ 坐标、最大 $x$ 坐标、最小 $y$ 坐标和最大 $y$ 坐标）

请计算所有非空子集 $T$ 的 $f(T)$ 之和，并将结果对 $998244353$ 取模后输出。

约束

• $1 \leq N \leq 2 \times 10^5$
• $-10^9 \leq x_i, y_i \leq 10^9$
• $x_i \neq x_j (i \neq j)$
• $y_i \neq y_j (i \neq j)$
• 输入中的所有值均为整数。

输入

从标准输入获取输入数据，格式如下：

$N$

$x_1$ $y_1$

$:$

$x_N$ $y_N$

输出

输出所有非空子集 $T$ 的 $f(T)$ 之和，将结果对 $998244353$ 取模后输出。

3
-1 3
2 1
3 -2

13

设第一个、第二个和第三个点分别为 $P_1$、$P_2$ 和 $P_3$。$S = \{P_1, P_2, P_3\}$ 有七个非空子集，而 $f$ 在每个子集上的取值如下：

• $f(\{P_1\}) = 1$
• $f(\{P_2\}) = 1$
• $f(\{P_3\}) = 1$
• $f(\{P_1, P_2\}) = 2$
• $f(\{P_2, P_3\}) = 2$
• $f(\{P_3, P_1\}) = 3$
• $f(\{P_1, P_2, P_3\}) = 3$

这些值的和为 $13$。

4
1 4
2 1
3 3
4 2

34

10
19 -11
-3 -12
5 3
3 -15
8 -14
-9 -20
10 -9
0 2
-7 17
6 -6

7222

请务必注意将结果对 $998244353$ 取模。